- Bei einem geraden Stoß bewegen sich die Stoßpartner vor und nach dem Stoß entlang einer Gerade. Wir benötigen also keine vektorielle Betrachtung der Größen durchzuführen.
- Bei einem elastischen Stoß bleiben die kinetischen Energien der Stoßpartner vor und nach dem Stoß erhalten.
- Nun möchten wir das Verhalten der Stoßpartner nach dem Stoß vorhersagen. Zuerst die Physik. Wir bezeichnen die Stoßpartner mit a und b, ihre Massen mit $m_a$ und $m_b$ und ihre Geschwindigkeiten vor dem Stoß mit $v_a$ und $v_b$. Alle diese Angaben sind vorhanden. Die Geschwindigkeiten der Stoßpartner nach dem Stoß sind unbekannt und wir nennen diese $u_a$ für den Stoßpartner a und $u_b$ für den Stoßpartner b.
- Die Impulserhaltung besagt, dass der Gesamtimpuls vor dem Stoß $p_{vorher}$ gleich dem Gesamtimpuls nach dem Stoß $p_{nachher}$ ist, d. h. $$p_{vorher} = p_{nachher}$$ Der Gesamtimpuls ist die Summe der Impulse der beiden Stoßpartner (a und b), also $$m_a v_a + m_b v_b = m_a u_a + m_b u_b$$
- Die Erhaltung der kinetischen Energien besagt, dass die kinetische Energie des Systems vor dem Stoß $E^{kin}_{vorher}$ gleich der kinetischen Energie des Systems nach dem Stoß $E^{kin}_{nachher}$ ist, d. h. $$E^{kin}_{vorher} = E^{kin}_{nachher}$$ Die kinetische Energie des gesamten Systems ist die Summe der kinetischen Energien der beiden Stoßpartner (a und b), also $$\frac 1 2 m_a v_a^2 + \frac 12 m_b v_b^2 = \frac 1 2 m_a u_a^2 + \frac 1 2 m_b u_b^2$$
- An dieser Stelle ist vorerst die Physik vorbei. Wir benötigen nun Mathematik, um die zwei Gleichungen nach $u_a$ und $u_b$ aufzulösen. Hier nochmal die Gleichungen: $$\boxed{ \begin{aligned} m_a v_a + m_b v_b &= m_a u_a + m_b u_b \\ \frac 1 2 m_a v_a^2 + \frac 12 m_b v_b^2 &= \frac 1 2 m_a u_a^2 + \frac 1 2 m_b u_b^2 \end{aligned} }$$
- Durch mathematische Operationen können wir nun $u_a$ und $u_b$ bestimmen. Klicke auf diesen Text, wenn du eine ausführliche Erläuterung haben möchtest.
- Zuerst bringen wir alle Terme, die mit dem Stoßpartner a zutun hat auf die linke Seite und alle Terme, die den Stoß b betreffen auf die rechte Seite. Hier nochmal die Gleichungen: $$\begin{aligned} m_a v_a – m_a u_a &= m_b u_b – m_b v_b \\ \frac 1 2 m_a v_a^2 – \frac 1 2 m_a u_a^2 &= \frac 1 2 m_b u_b^2 – \frac 12 m_b v_b^2 \end{aligned} $$
- Nun klammern wir in beiden Gleichungen die Massen aus. Hier nochmal die Gleichungen: $$\begin{aligned} m_a (v_a – u_a) &= m_b ( u_b – v_b) \\ \frac 1 2 m_a (v_a^2 – u_a^2) &= \frac 1 2 m_b (u_b^2 – v_b^2) \end{aligned} $$
- In der zweiten Gleichung können wir $\frac 1 2$ auf beiden Seiten wegkürzen. Hier nochmal die Gleichungen: $$\begin{aligned} m_a (v_a – u_a) &= m_b ( u_b – v_b) \\ m_a (v_a^2 – u_a^2) &= m_b (u_b^2 – v_b^2) \end{aligned} $$
- Jetzt dividieren wir die untere Gleichung durch die obere Gleichung und erhalten: $$\frac {m_a (v_a^2 – u_a^2)}{m_a (v_a – u_a)} = \frac{m_b (u_b^2 – v_b^2)}{m_b ( u_b – v_b)} $$
- Wir kürzen die Massen und erhalten: $$\frac { (v_a^2 – u_a^2)}{ (v_a – u_a)} = \frac{ (u_b^2 – v_b^2)}{ ( u_b – v_b)} $$
- Auf beiden Seiten jeweils im Zähler schreiben wir die 3. binomische Formel aus: $$v_a^2-u_a^2 = (v_a-u_a) (v_a+u_a)$$ und erhalten: $$\frac { (v_a – u_a)(v_a + u_a)}{ (v_a – u_a)} = \frac{ (u_b – v_b)(u_b + v_b)}{ (u_b – v_b)} $$
- Herrlich! Nun können wir ganze Klammern aus den Zählern und Nennern kürzen und erhalten: $$v_a + u_a= u_b + v_b$$
- Umformung nach der unbekannten Geschwindigkeit $u_b$ ergibt: $$ u_b = v_a + u_a – v_b $$ Wir können natürlich auch nach $u_a$ umformen!
- Wir setzen diese $u_b$ in die Impulsgleichung: $$ m_a v_a + m_b v_b = m_a u_a + m_b u_b $$ ein und bekommen: $$\begin{aligned} m_a v_a + m_b v_b &= m_a u_a + m_b (v_a + u_a – v_b) \\ m_a v_a + m_b v_b &= m_a u_a + m_b v_a + m_b u_a – m_b v_b \end{aligned}$$ Selbstverständlich könnten wir auch $u_b$ in die Energiegleichung einsetzen, aber das würde alles wegen den quadratischen Termen verkomplizieren, und wir sind von Natur aus faul!
- Nun lösen wir diese Gleichung nach $u_a$ auf: $$\begin{aligned} m_a u_a + m_b v_a + m_b u_a – m_b v_b &= m_a v_a + m_b v_b \\ m_a u_a + m_b u_a &= m_a v_a + m_b v_b – m_b v_a + m_b v_b \\ u_a (m_a + m_b) &= (m_a – m_b) v_a + 2m_b v_b \end{aligned}$$
- Eine ähnliche Vorgehensweise kann auch für $u_b$ verwendet werden.
- Für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß gilt also: $$\boxed{\begin{aligned} u_a &=\frac{ 2m_b v_b +(m_a – m_b) v_a}{(m_a + m_b)} \\ \\ u_b &=\frac{ 2m_a v_a +(m_b – m_a) v_b}{(m_a + m_b)} \end{aligned}}$$ An dieser Stelle sind wir mit Mathematik fertig und können wieder Physik betreiben. Dafür klopfen wir uns auf die Schulter 😄 und belohnen uns z. B. durch eine Tasse Kaffee, eine Runde Zocken und was immer man so mag.