Bei den Wurf- und Fallaufgaben wird das Verhalten eines Objekts unter dem Einfluss der Erdanziehung für bestimmte Anfangsgeschwindigkeiten untersucht.
Die Erde zieht alle Körper mit einer Masse m mit der Gewichtskraft $$\boxed{F = m \cdot g}$$ an. Dabei zeigt die Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt, also nach unten.
Wenn ein Objekt fallen gelassen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit gleich Null. Wir sprechen dann von einem freien Fall. Hierbei wirkt nur die Erdanziehung in Form der Gewichtskraft.
Wenn ein Objekt geworfen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit ungleich Null. Wir sprechen dann von einem Wurf. Erfolgt der Wurf senkrecht nach oben, dann sprechen wir von einem vertikalen Wurf nach oben. Wird das Objekt horizontal, d. h. parallel zur Erdoberfläche geworfen, so sprechen wir von einem horizontalen Wurf. Erfolgt der Wurf schief, so sprechen wir von einem schiefen Wurf.
Der Waagerechte Wurf
Beim waagerechten Wurf, wirkt nur die Gewichtskraft (nach unten), die eine Fall-Bewegung, wie beim freien Fall in vertikaler Richtung hervorruft. Es erfolgt zusätzlich eine Bewegung in horizontaler Richtung, da die Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung ($v_{0,x}$) nicht gleich Null ist. Deshalb müssen wir das Problem in zwei Dimension nämlich in der vertikalen (y-Achse) und horizontalen (x-Achse) Dimension lösen.
Beim waagerechten Wurf erfolgen die Bewegungen in horizontaler (x-) und vertikaler (y-) Richtung vollständig unabhängig voneinander. Das ist sehr vorteilhaft, da wir dann die x- und y-Koordinaten der Bewegungsvektoren separat berechnen können.
Beim waagerechten Wurf, ist die Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung ungleich Null, aber in vertikaler Richtung gleich Null, d. h. $$\vec v_0 = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ 0 \end{pmatrix}$$
Für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec v(t) = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ -gt \end{pmatrix}$$
Für die Position in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec r(t) = \begin{pmatrix} v_{0,x} t + x_0 \\ – \frac 1 2 gt^2 + y_0 \end{pmatrix}$$ Wobei $y_0$ die Starthöhe des Falls darstellt. Um die Betrachtung zu vereinfachen, wählen wir unser Bezugssystem so, dass gilt $x_0 = 0$. Für die Position in Abhängigkeit von der Zeit gilt dann: $$\vec r(t) = \begin{pmatrix} v_{0,x} t \\ – \frac 1 2 gt^2 + y_0 \end{pmatrix}$$
Abschließende Bemerkungen zu Wurfaufgaben
Wann wird die maximale Höhe erreicht? Beim waagerechten Wurf (genau wie beim freien Fall) ist die maximale Höhe bereits am Anfang ($t=0$) gegeben, d.h. bei $t=0$. Danach fällt ja das Objekt nach unten, wobei die Höhe abnimmt.
Wann erreicht das Objekt den Boden (auch Flugzeit $t_F$ genannt)? So, wie wir unser Bezugssystem gewählt haben, hat das Objekt am Boden die Höhe Null, d.h. $y (t_F)=0$, wobei $t_F$ die gesuchte Flugzeit oder Aufprallzeit darstellt. Für die Höhe (d.h. die vertikale Komponente des Positionsvektors) gilt $$- \frac 1 2 gt_{F}^2 + v_{0,y} t_F + y_0 = 0$$ Beim waagerechten Wurf (wie beim freien Fall) ist die vertikale Startgeschwindigkeit Null, d.h. $v_{0,y} = 0$. Einsetzen liefert $$- \frac 1 2 gt_{F}^2 + y_0 = 0$$ Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit $-\frac 2 g$ und erhalten $$t_{F}^2 – \frac{2 y_0}{g} = 0$$ Dies ist eine quadratische Gleichung der Form $t^2+pt+q =0$ mit $p=0$ und $q=- \frac{2 y_0}{g}$, die wir mit der p-q-Formel lösen können $$t_{F} = \sqrt {\frac {2y_0}{g}}$$ Ich empfehle dir diese Formel gar nicht auswendig zu lernen. Was du brauchst ist nur $y (t_F)=0$ für die Flugzeit und natürlich $y(t) = – \frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t + y_0$. Damit kannst du dir die Flugzeiten für alle möglichen Szenarien ausrechnen. Das musst du nur ein Paar Mal selbst üben und dann klappt es auch. Mach dir nicht das Leben so schwer indem du alle Formeln auswendig lernst. Lerne von den Physikern und beschränke dich nur auf die wichtigen Formeln, die meistens mit einem Kasten umrandet sind. Physiker sind alles faule Leute (ich übrigens auch). Sie wollen die ganze Welt mit nur einer einzigen Formel beschreiben! Alles andere wird hergeleitet, wenn und wie man es benötigt.
Mit welcher Geschwindigkeit erreicht das Objekt den Boden (Aufprallgeschwindigkeit)? Für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec v(t) = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ -gt \end{pmatrix}$$ Beim Aufprall gile $t=t_F$, die wir oben berechnet haben. Der Geschwindigkeitsvektor beim Aufprall lautet also $$\vec v(t_F) = \begin{pmatrix} v_{0,x} \\ -gt_F \end{pmatrix}$$ Für die Größe der Geschwindigkeit, d.h. den Betrag des Geschwindigkeitvektors gilt $$v =\sqrt{(v_{0,x})^2 +(-gt_F)^2}$$ Einsetzen liefert $$v =\sqrt{(v_{0,x})^2 +(-g \sqrt {\frac {2y_0}{g}})^2}$$ Vereinfachen ergibt $$v =\sqrt{(v_{0,x})^2 +2 g y_0}$$
Wie weit fliegt das Objekt, bis es den Boden erreicht? Hierzu benötigen wir erstmal die Flugzeit $t_F$, die wir weiter oben berechnet haben $$t_{F} = \sqrt {\frac {2y_0}{g}}$$ Anschließend setzen wir $t_F$ in die horizontale (x-) Komponente des Ortsvektors $x(t)= v_{0,x} \cdot t $ ein und erhalten für die Flugweite $x_F$ $$x_F = x(t_F) = v_{0,x} \cdot t_F$$ $$x_F = v_{0,x} \cdot \sqrt {\frac {2y_0}{g}}$$