Betrachten wir die Geschwindigkeit $ v = \frac s t$. Umformung nach s liefert $s = v \cdot t$. Die Gleichung $s=v \cdot t $ besagt, dass die Strecke s von der Geschwindigkeit v und der Zeit t abhängt. Man sagt, die Strecke s ist eine Funktion der Zeit t und Geschwindigkeit v.
In der Physik bedeutet eine Funktion nichts anderes als eine Abhängigkeit. Wenn eine Messgröße y von einer Messgröße x abhängt, dann schreiben wir dies so $y(x)$ und sprechen das als „Ypsilon von Ix“ aus.
Für die Strecke können wir schreiben $s(t)$ aber auch $s(v)$, da die zurückgelegte Strecke sowohl von der Zeit $t$ als auch von der Geschwindigkeit $v$ abhängt. Wir können auch direkt $s(v,t)$ schreiben.
Nehmen wir nun an, dass die Geschwindigkeit $v$ konstant ist, d. h. sie ändert sich nicht. In diesem Fall hängt die zurückgelegte Strecke nur von der Zeit $t$ ab (da sich ja $v$ nicht ändert). Man sagt, die Strecke $s$ ist eine Funktion der Zeit $t$ und schreibt $$s(t) = v \cdot t$$
Einige Begriffe sind bei der Bezeichnung und Verwendung von Funktionen besonders hilfreich: $s(t) = v \cdot t$ ist eine Funktionsgleichung. Dabei sind s der Name der Funktion (hier Strecke oder Weg), t die unabhängige Variable (hier Zeit) und $ v \cdot t$ der Funktionsterm.
Betrachten wir nun die Funktion $s(t) = v \cdot t$. Nehmen wir an die Geschwindigkeit $v$ beträgt 20 [m/s]. Die Funktionsgleichung sieht dann folgendermaßen aus $s(t) = 20 [m/s] \cdot t$. Wenn wir eine Zahl für t einsetzen, erhalten wir einen Funktionswert für s.
Beispiel: Der Wert der Funktion $s(t) = 20 [m/s] \cdot t$ für t = 5 [s] beträgt $s(t= 5 [s]) = 20 [m/s] \cdot 5 [s]$ also $s(5 [s]) = 100 [m]$.
Beispiel: Die Strecke, die ein Auto zurücklegt, ist durch die Funktion $s(t) = 20 [m/s] \cdot t$ definiert. Welche Strecke legt das Auto in 5 Sekunden zurück? Für t = 5 [s] beträgt die Strecke $s(t=5 [s]) = 20 [m/s] \cdot 5 [s]$ also $s(5 [s]) = 100 [m]$.
In der Physik werden die meisten Messgrößen als Funktion von Elementargrößen Zeit t und Raum s angegeben.
Wir können nun die Delta-Schreibweise auf Funktionen erweitern. Betrachten wir eine Funktion $s(t)$. Wir haben gelernt, dass $x$ als Funktionswert bezeichnet werden kann, wenn gilt $x = s(t)$. Betrachten wir nun zwei verschiedene Funktionswerte $x_1=s(t_1)$ und $x_2=s(t_2)$. Wir können schreiben $$\Delta s = s_2-s_1 = s(t_2)-s(t_1) =x_2 -x_1$$.
Wir können jetzt eine Weg-Zeit-Funktion ableiten $$v = \frac {\Delta s(t)}{\Delta t} = \frac {S(t_2)-s(t_1)}{t_2-t1}$$ Die Zeitpunkte $t_1$ und $t_2$ sind zwei beliebige Werte, die sich i. d. R. aus der Aufgabenstellung ergeben. Wir können nun diese Gleichung vereinfachen, in dem wir unsere Stoppuhr bei der Zeitmessung immer bei $t_1$ auf Null stellen, d. h. $t_1 =0$. Dann erhalten wir $$v = \frac {S(t_2)-s(0)}{t_2}$$ Da wir jetzt nur noch $t_2$ haben, können wir anstatt $t_2$ auch einfach $t$ schreiben. Für $s(0)$ schreibt man auch vereinfacht $s_0$, es beschreibt also die Strecke, die ein Objekt zum Zeitpunkt $t=0$ bereits hinter sich hat. Dann erhalten wir $$v = \frac {s(t)-s_0}{t}$$ Für die Weg-Funktion gilt also $$\boxed{s(t) = v \cdot t + s_0}$$
Wir können jetzt eine Geschwindigkeit-Zeit-Funktion ableiten $$a = \frac {\Delta v(t)}{\Delta t} = \frac {v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t1}$$ Die Zeitpunkte $t_1$ und $t_2$ sind zwei beliebige Werte, die sich i. d. R. aus der Aufgabenstellung ergeben. Wir können nun diese Gleichung vereinfachen, in dem wir unsere Stoppuhr bei der Zeitmessung immer bei $t_1$ auf Null stellen, d. h. $t_1 =0$. Dann erhalten wir $$a = \frac {v(t_2)-v(0)}{t_2}$$ Da wir jetzt nur noch $t_2$ haben, können wir anstatt $t_2$ auch einfach $t$ schreiben. Für $v(0)$ schreibt man auch vereinfacht $v_0$, es beschreibt die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$, also die Anfangsgeschwindigkeit. Dann erhalten wir $$a = \frac {v(t)-v_0}{t}$$ Für die Geschwindigkeit-Funktion gilt also $$\boxed{v(t) = a \cdot t + v_0}$$