Wenn eine Kraft F ein Objekt um die Strecke s verschiebt, dann wird die Arbeit $W=F \cdot s$ verrichtet. Aber ist es wichtig, wie schnell die Arbeit verrichtet wird?
Betrachten wir zwei Traktoren, die mit der gleichen Kraft 5000 [N] jeweils einen Baumstamm der Masse 1000 [kg] um 50 [m] bewegen. Beide Traktoren verrichten die Arbeit $W= F \cdot s = 250000 [J]$.
Nun nehmen wir an, dass sich Traktor A im Vergleich zu Traktor B doppelt so schnell bewegt. Die Verrichtete Arbeit bleibt bei beiden Traktoren Gleich, da die Kraft und die Strecke sich nicht ändern. Der Traktor A ist aber doppelt so schnell (d.h. in der Hälfte der Zeit) fertig, wie der Traktor B.
Obwohl die verrichtete Arbeit bei beiden Traktoren gleich ist, wissen wir, dass Traktor A mehr als Traktor B geleistet hat, denn er war doppelt so schnell und ist in der Hälfte der Zeit mit der Arbeit fertig. Die Größe die uns ermöglicht diesen Unterschied zu definieren ist die Leistung. Die Leistung definieren wir als der Quotient der verrichteten Arbeit (bzw. Energie) und der Zeit, d. h. $$\boxed{P = \frac W t}$$
In unserem Beispiel würde der Traktor A eine doppelt so hohe Leistung ($P_A$) erbringen, da er in der Hälfte der Zeit ($t_A=0.5 t_B$) die gleiche Arbeit (W) erledigt. $$\begin{aligned} P_A &= \frac {W} {t_A} \\ &= \frac {W} {0.5 t_B} \\ &= 2 \frac {W}{t_B} \\ &= 2 P_B \end{aligned}$$
Die Leistung wird durch ein großes P dargestellt (nicht zu verwechseln mit dem Impuls, der durch ein kleines p dargestellt wird).
Für die Einheit der Leistung erhalten wir $$P = \frac {1[J]}{1 [s]} = 1 [\frac J s]$$ Wir nennen $1 [\frac J s]$ ein Watt [W].
In der Delta-Schreibweise können wir schreiben $$P = \frac {\Delta W}{\Delta t}$$
Die Leistung ist also die verrichtete Arbeit W pro Zeiteinheit t. Für die Arbeit gilt $W= F \cdot s$. Wenn wir diese Beziehung in die Formel für die Leistung einsetzen erhalten wir $$\begin{aligned} P &= \frac W t \\&= \frac{F \cdot s}{t} \\&=F \cdot \frac s t \end{aligned}$$Da $\frac s t = v$ können wir für die Leistung schreiben $$P=F \cdot v$$